Eingeschwungener Zustand am Senderausgang

Material f├╝r die aktuell noch laufende Diskussion bei db3om zum Thema.

Transformation des Reflexionsfaktors an den Leitungseingang

(Wie in jedem Lehrbuch beschrieben)

Der Reflexionsfaktor ist definiert als das Verh├Ąltnis der r├╝cklaufenden zur hinlaufenden Welle. Mit den Leitungswellenbeziehungen l├Ą├čt sich der Reflexionsfaktor auf der Leitung wie folgt aus dem Reflexionsfaktor am Leitungsende ableiten.

$$r(z) = { U_r(z) \over u_h(z) } = {{ U_r e^{- \gamma z} } \over { U_r e^{\gamma z} }} = {U_r \over U_r } e^{- 2 \gamma z} = r_2 e^{-2 \alpha z} e^{-j2 \beta z} (1)$$

Der Reflexionsfaktor am Leitungseingang wird durch die Leitung im allgemeinen also mit dem doppelten der D├Ąmpfungskonstante bed├Ąmpft und mit dem Doppelten der Phasenkonstante in der Phase gedreht

Aus dieser Formel l├Ą├čt sich Folgendes herauslesen: Wegen $\alpha > 0$ ist $|U_r|$ ist immer kleiner oder gleich $|U_h|$ und die Phasendifferenz zwischen $U_h$ und $U_r$ nimmt ├╝ber die Leitung jeden beliebigen Wert an. (Gen├╝gende L├Ąnge der Leitung vorausgesetzt.)

Die Situation am Leitungsanfang

(Dieser Abschnitt ist eine Wiederholung ensprechenden Abschnitts des Artikels Das Missverst├Ąndnis der reflektierten Energie auf ├ťbertragungsleitungen)

Die Situation am Leitungsende ist in h├Ąufig beschrieben, aber die Situation am Leitungseingang dagegen eher selten.

Wie oben beim ├ťbergang von der Leitung zur Last schon ausgef├╝hrt m├╝ssen beim ├ťbergang von einem Modell zum anderen Strom und Spannung stetig sein, mit anderen Worten mu├č am Leitungseingang gelten:

$$U_1 = U_h(-l) + U_r(-l)$$

und

$$I_1 = I_h(-l) - I_r(-l)$$

Der Strom durch den Innenwiderstand des Senders ist gegeben durch

$$I_1 = {{ U_g - U_1} \over Z_i } (2)$$

Auf der Leitung sind Strom und Spannung der hin- und r├╝cklaufenden Wellen jeweils ├╝ber den Wellenwiderstand miteinander verkn├╝pft:

$$I_h(z) = { U_h(z) \over Z_L }$$

und

$$I_r(z) = {U_r(z) \over Z_L }$$

Da der Strom durch den Innenwiderstand gleich dem Gesamtstrom am Leitungseingang sein mu├č, gilt mit (2) dann

$${{ U_g - U_1 } \over Z_i } = {{ U_g - (U_h(-l) + U_r(-l)) } \over Z_i } = I_1 = I_h(-l) - I_r(-l) = {U_h(-l) \over Z_L } - {U_r(-l) \over Z_L }$$

Formen wir dies um und l├Âsen nach Uh auf, dann erhalten wir

$$U_h(-l) = { Z_L \over { Z_i + Z_L }} U_g + {{ Z_i - Z_L } \over { Z_i + Z_L }} U_r(-l)$$

Der Faktor vor dem $U_r$hat genau dieselbe Form wie am Leitungsende und beschreibt offenbar denjenigen Anteil der r├╝cklaufenden Welle, der am Leitungsanfang wieder in Richtung Leitungsende reflektiert wird.

F├╝hren wir nun r_e, den Reflexionskoeffizienten am Leitungseingang ein $r_e := {{ Z_i - Z_L } \over { Z_i + Z_L }}$, so erhalten wir

$$U_h(-l) = { Z_L \over { Z_i + Z_L }} U_g + r_e U_r(-l) (3)$$

Die hinlaufende Welle setzt sich demnach aus zwei Bestandteilen zusammen:

Zum einen einen Teil, der durch den komplexen Spannungsteiler zwischen Innenimpedanz des Generators und Wellenwiderstand der Leitung gebildet wird und zum anderen durch einen reflektierten Anteil der r├╝cklaufenden Welle. Der Faktor dieses Anteils hat dabei dieselbe Form wie der des reflektierten Anteils am Leitungsende.

Aus der Gleichung (3) kann man f├╝r den Fall $Z_i = Z_L$ ein interessantes Ergebnis ablesen: Dann n├Ąmlich ist $r_e = 0$, $U_h$ konstant $U_g/2$ und nicht abh├Ąngig von $U_r$. Mit anderen Worten: Wenn der Innenwiderstand des Senders an den Wellenwiderstand der Leitung angepa├čt ist, bleibt die hinlaufende Welle ├╝ber die Zeit konstant. Damit ├Ąndern sich dann auch die Verh├Ąltnisse am Leitungsende nicht mehr, nachdem die hinlaufende Welle einmal das Leitungsende erreicht hat. Die r├╝cklaufende Welle, sofern es wegen einer Fehlanpassung am Leitungsende eine gibt, l├Ąuft jetzt in Richtung Leitungsanfang. Wenn sie den Leitungsanfang erreicht hat, ├Ąndert sich zwar noch einmalig $U_1$ (nicht aber $U_h$!), aber dann ist das System sp├Ątestens nach $2 T_L$ eingeschwungen.

Der Einschwingvorgang

Betrachten wir nun eine beidseitig fehlangepa├čte Leitung, also $Z_i \ne Z_L$und $Z_2 \ne Z_L$an deren Leitungsanfang zum Zeitpunkt $t = 0$ eine Sinusschwingung konstanter Amplitude angelegt wird.

Um jetzt Aussagen ├╝ber den Einschwingvorgang machen zu k├Ânnen ist die Tatsache wichtig, da├č sich die r├╝cklaufende Welle $U_r(-l,t)$zum Zeitpunkt $t$ja aus der hinlaufenden Welle $U_h(-l,t-2T_L)$vom Zeitpunkt $t-2 T_L$ergibt, die zum Leitungsende gelaufen war und von dort reflektiert wurde. Rechnet man also in Zeitintervallen von $2 T_L$, dann sieht man, da├č sich die r├╝cklaufende Spannung am Leitungseingang aus der hinlaufenden Spannung vom Leitungseingang aus dem jeweils vorigen Zeitintervall ergibt. Das macht die Behandlung des Einschwingvorganges einfacher, denn statt Differentialgleichungen l├Âsen zu m├╝ssen mu├č man hier nur die Folge von jeweils f├╝r die Dauer von $2 T_L$station├Ąre Zust├Ąnde berechnen. $U_{r,n}(-l) = f(U_{r,n-1}(-l))$

Hinlaufende Welle

F├╝r die r├╝cklaufende Welle f├╝r das Zeitintervall $n$ergibt sich aus der hinlaufenden Welle des vorhergegangenen Zeitintervalls und $r_1$, dem an den Leitungsanfang transformierten Reflexionskoeffizienten des Leitungsendes die folgende Beziehung

$$ U_{r,n}(-l) = r_1 U_{h,n-1}(-l) (4) $$

F├╝r die hinlaufende Welle ergibt sich dann mit (3)

$$ U_{h,n}(-l) = { Z_L \over { Z_i + Z_L }} U_g + r_1 r_e U_{h,n-1}(-l) (5) $$

Schreibt man die ersten Spannungen mal explizit auf, erkennt man, da├č die n-te Spannung aus folgender Reihe berechnet werden kann

$$ U_{h,n}(-l) = U_g { Z_L \over { Z_i + Z_L }} \sum \limits_{k=0}^n \left(r_1 r_e \right)^k (6) $$

Dies ist die geometrische Reihe im Komplexen und von den Mathematikern k├Ânnen wir ├╝bernehmen da├č diese Reihe den Grenzwert $\sum \limits_{k=0}^\infty z^k = { 1 \over { 1 - z }}$ mit dem Konvergenzradius 1 hat. Mit anderen Worten: F├╝r $| r_1 r_e | < 1$ konvergiert diese Reihe und hat dann den Grenzwert

$$ U_{h,\infty}(-l) = U_g { Z_L \over { Z_i + Z_L}} { 1 \over {1 - \left( r_1 r_e \right) }} = U_g { Z_L \over { (Z_i + Z_L) - r_1 (Z_i - Z_L) }} (7) $$

F├╝r $| r_1 r_e | \ge 1$ divergiert die Reihe - mit anderen Worten es stellt sich kein stabiler Zustand ein.

ToDo

Ermitteln unter welchen Bedingungen kleiner als 1 bleibt.

F├╝r reelle $Z_i$ und $Z_L$ ist der Ausdruck immer kleiner als 1 solange nicht $Z_i = 0$ oder $Z_L = 0$ und $|r_1| = 1$. Im praktischen Falle ist dies wegen der immer auftretenden Verluste gegeben.

Erster Ansatz mal in die T├╝te geschrieben:

F├╝r $r_2 = {{Z_2 - Z_L} \over { Z_2 + Z_L }} = |r_2| e^{j \varphi_2}$ wurde in der Literatur gezeigt, da├č $|r_2| <= 1$ ist.

Nun $r_e$ genau dieselbe Form - dieselben Bedingungen gelten also auch hier.

Also schreibt sich $|r_e r_1| = |r_e| |e^{j \varphi_e}| |r_2| |e^{j \varphi_2}| |e^{-2 \alpha z} e^{-j2 \beta z}|$ Dieser Ausdruck kann maximal 1 werden, aber nur dann, wenn an beiden Enden jeweils 100% reflektiert wird und die Leitung keine D├Ąmpfung hat. Ein Fall der also praktisch niemals erreicht werden kann.

Also ist die Randbedingung in der Praxis immer gegeben.

Senderausgangsspannung

Me├čbar ist diese Spannung der hinlaufenden Welle aber nicht, sondern nur die ├ťberlagerung mit der jeweiligen r├╝cklaufenden Spannung. Im eingeschwungenen Fall ist also

$$U_1 = U_{h,\infty} + U_{r,\infty} = (1 + r_1) U_{h,\infty}$$

Mit (7) ergibt sich dann f├╝r die Spannung am Leitungseingang

$$U_1 = U_g (1 + r_1) { Z_L \over { (Z_i + Z_L) - r_1 (Z_i - Z_L) }}(8)$$

Diese Spannung h├Ąngt also vom an den Leitungseingang transformierten Reflexionskoeffizienten des Lastendes sowie dem Grad der Fehlanpassung des Senders an die Leitung ab.

Plausibilit├Ątskontrollen:

Angepa├čter Sender, $Z_i = Z_L$
$U_1 = U_g (1 + r_1) { 1 \over 2 }$ Ist nun auch noch die Last angepa├čt, dann ist $r_1 = 0$ und am Senderausgang steht die halbe Generatorspannung ÔÇô wie erwartet.

Virtueller Leerlauf, $r_1 = 1$
Die Sender-Ausgangspannung ist gleich der Generatorspannung ÔÇô wie erwartet.

Virtueller Kurzschlu├č, $r_1 = -1$
Die Sender-Ausgangspannung ist Null ÔÇô wie erwartet.

Die Ersatzimpedanz im eingeschwungenen Zustand

Schauen wir uns das Verh├Ąltnis von Strom und Spannung im eingeschwungenen Zustand an. Mit (2) und (8) ergibt sich

$$Z_1 := { U_1 \over I_1 } = Z_i { U_1 \over { U_g - U_1}} = Z_L {{ 1 + r_1} \over { 1 - r_1 }} (9)$$

Im eingeschwungenen Zustand kann man also die ├ťbertragungsleitung und die Last durch die Ersatzimpedanz $Z_1$ersetzen, ohne da├č der Sender einen Unterschied ÔÇ×merktÔÇť.

Diese Formel findet sich auch in [Det06] und hat keine Abh├Ąngigkeiten ob der Sender an die Leitung angepa├čt ist, oder nicht. Eigentlich auch kein weiter verwunderliches Ergebnis.

Im Folgeartikel “Der Einschwingvorgang einer ├ťbertragungsleitung im Detail” beleuchte ich das Einschwingen bei einigen speziellen F├Ąllen

┬ę Matthias Leonhardt - DJ1ML, 2011

Links/Quellen:

Dethlefsen, Siart: Grundlagen der Hochfrequenztechnik, Oldenbourg Verlag, 2. Auflage 2006, ISBN 3-486-57866-9

Versionshistorie

1.0.2 01.08.2011 Kleine Sch├Ânheitskorrekturen, Skizze der Absch├Ątzung von $|r_e r_1|$
1.0.1 27.07.2011 Korrektur eines Rechnenfehlers bei der Ersatzimpedanz
1.0.0 27.07.2011 Erste Fassung nach Diskussion im Internet